6.2 Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S = P(1 + i) n . (6.16)

Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:

P = Þ P = = 0.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

S =P (1 + i/m) mn .

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

Поскольку (1 + i/m) m = e i , то `S = P e in .

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через d, тогда `S = Pe .

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.

Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р-срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример 3.13. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 ´ 1,05 3 так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 ´ 1,05 2 , так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R - размер члена ренты, i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит

R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) = = R´((1 + i) n - 1)/ i. Обозначим S n; i =((1 + i) n - 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), где i - номинальная ставка процентов.

Величина a n; i =(1 - (1 + i) - n)/ i называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n ®¥ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

A n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i =1/i.

Пример 3.14. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле: R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ при n ® ¥.

Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i ® 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.

Метод потенциалов. Однако на распределительном методе основаны некоторые другие способы решения задач, что и вызывает необходимость его изучения. 9. Метод потенциалов Решение транспортной задачи любым способом производится на макете. Макет для применения метода потенциалов имеет следующий вид. Основная часть макета выделена двойными линиями. Она содержит k×l клеток. Каждая...

Признакам следует выделить два основных вида игр, несущих наибольшую образовательную нагрузку, так как все остальные являются производными от них. Этими видами являются инновационные игры и ансамблевые игры. Имитационные или ролевые игры позволяют обучать персонал практически с нуля, в то время как два предыдущих вида больше связаны с развивающим обучением. Назначение деловых игр Деловая...

Из остальных факторов мало что удастся сделать. Когда я поступил в корпорацию "Крайслер", то взял с собой мои записные книжки из компании "Форд", в которых была отражена служебная карьера нескольких сот фордовских менеджеров. После увольнения я набросал подробный перечень того, что не хотел оставлять в кабинете. Эти записные книжки в черных переплетах, несомненно, принадлежали мне, но можно было...

Научн. картине мира, кот. дает естествознание. Необходимость применения естствено научных методов и законов в практической деят-ти гуманитарных специальностей и привело к постановке того курса, кот. мы будем изучать: Физика для гуманитариев. (38) Связь между разделами естествознания. Слово естествознание представляет из себя сочетание 2х слов: естество (природа) и знание. В настоящее время...

?Введение
Проценты- удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент- это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».
Сложные проценты, реинвестирование или капитализация - это очень важные явления в банковских финансах. В долгосрочном периоде, депозит со сложным начислением процентов может показать невиданное ускорение роста капитала, при этом сохраняя риск потерь на относительно низком уровне. Сложные проценты могут превратить ваш сравнительно небольшой вклад в машину, которая зарабатывает вам приличный капитал.
Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени разбивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать!
Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции.
С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств.

1. Сложные проценты
1.1. Начисление сложных годовых процентов

Если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.
Применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам. В конце первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i).
К концу второго года она достигнет величины
Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 +i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна
S = Р(1 + i) n (1.1)
Проценты за этот срок:
I =S – P = Р[(1 + i) n – 1]
Величину (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ.
Если в контракте ставка процентов изменяется, то применяют формулу:
S= P (1+ i 1)n1 (1 + i2)n2 … (1+ik)nk ,

Где i1, i 2, … i k - последовательные значения ставок; n1,n2,…,nk – периоды для соответствующих ставок.
Часто для начисления процентов срок не является целым числом.
Применяют три метода начисления процентов.
1Наращенная сумма находится по формуле:
S= P (1+ i 1)na (1 + i2)nb,

Где na - целая часть периода начисления, nb - – дробная часть периода начисления.

1. Предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
S = P(1+ i 1)na (1+ nb i)

2. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления.
Дробная часть периода отбрасывается:

S= P (1+ i 1)na
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. При n > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается. Соотношение множителей наращения представлено на рис. 3.

Рис. 3. Соотношение множителей наращения по простым и сложным процентам

1.2 Формулы удвоения

На основе формул для простых и сложных процентов
S= P + I= P + Pni = P(1+ni),
S= P (1+ i)n
получим следующие формулы удвоения:
- удвоение по простым процентам:
2= 1 + ni -> n = 1/I ,

n= ln 2/ ln (1+ i)= o,69315 /ln (1+ i).
В общем случае для увеличения первоначальной суммы в N раз:
- по простым процентам:
N= 1+ ni -> n = N-1/ I ,

Удвоение по сложным процентам:
N= (1+i)n -> ln N / ln (1+i) .
При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.
Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

1.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году - m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:
S = P(1+ J/m)mn , (1.2)
Где N= nm - общее количество периодов начисления.
Действительная, или эффективная ставка процента - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.
Обозначим эффективную ставку через i. Множители наращения, рассчитанные по эффективной и номинальной ставкам, должны быть равны друг другу:
(1 + i)n = (1 + j/m)mn .
Отсюда
I = (1 + j/m)m – 1.
Эффективная ставка при m > 1 больше номинальной.
Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m:

1.4. Дисконтирование по сложной ставке

Определим первоначальную сумму по наращенной через математическое дисконтирование:
P = S / (1+ I) n
и когда проценты начисляются m раз в году:
P = S / (1 + J/m) mn
При банковском учете применяют сложную учетную ставку. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем по простой учетной ставке:
P = S (1 – d)n ,
где d - сложная годовая учетная ставка.

1.5. Номинальная и эффективная учетные ставки

Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае
P = S (1 – f/ m) mn ,
где f - номинальная учетная ставка.
Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(1 – d) n = (1 – f / m)mn ,
Откуда
d = 1 – (1 – f / m)m .
Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m > 1, меньше номинальной.

2. Инфляция
2.1 Понятие инфляции

Инфляция как явление экономическое существует уже длительное время. Считается, что она появилась чуть ли не с возникновения денег, с функционированием которых неразрывно связана.
Термин инфляция (от латинскою inflatio – вздутие) впервые стал употребляться в Северной Америке в период гражданской войны 1861–1865 гг. и обозначал процесс разбухания бумажно-денежного обращения. В XIX в. этот термин употребляется также в Англии и Франции. Широкое распространение в экономической литературе понятие инфляция получило в XX в. после первой мировой войны, а в советской экономической литературе – с середины 20-х годов.
Наиболее общее, традиционное определение инфляции – переполнение каналов обращения денежной массой сверх потребностей товарооборота, что вызывает обесценение денежной единицы и соответственно рост товарных цен.
Однако такое определение инфляции нельзя считать полным. Инфляция, хотя она и проявляется в росте товарных цен, не может быть сведена лишь к чисто денежному феномену. Это сложное социально-экономическое явление, порождаемое диспропорциями воспроизводства в различных сферах рыночного хозяйства. Инфляция представляет собой одну из наиболее острых проблем современного развития экономики во многих странах мира.
Независимо от состояния денежной сферы товарные цены могут возрасти вследствие изменений в динамике производительности труда, циклических и сезонных колебаний, структурных сдвигов в системе воспроизводства, монополизации рынка, государственного регулирования экономики, введения новых ставок налогов, девальвации и ревальвации денежной единицы, изменения конъюнктуры рынка, воздействия внешнеэкономических связей, стихийных бедствий и т.п. Следовательно, рост цен вызывается различными причинами. Но не всякий рост цен - инфляция, и среди названных выше причин роста цен важно выделить действительно инфляционные.
Прежде всего нужно отметить, что рост цен может быть связан с превышением спроса над предложением товаров. Однако такой рост цен, связанный с диспропорцией между спросом и предложением на каком-то отдельном товарном рынке – это ещё не инфляция. Инфляция – это повышение общего уровня цен в стране, которое возникает в связи с длительным неравновесием на большинстве рынков в пользу спроса. Другими словами, инфляция – это дисбаланс между совокупным спросом и совокупным предложением.
Инфляция проявляется, прежде всего, в обесценении денег по отношению к золоту, товарам и иностранным валютам. В результате уменьшается золотое содержание национальной денежной единицы, поэтому цена золота растет.
С инфляцией сталкиваются практически все страны, причем последние годы характеризуются повышением ее темпов. Можно сказать, что мир стал более инфляционным.
Отдельные стороны инфляции описывают такие понятия, как “дезинфляция”, “дефляция”, “стагфляция”. Дезинфляция означает замедление темпов инфляции. Дефляцией называется долговременное снижение уровня цен. Термин “стагфляция” является производным от стагнации и инфляции и означает высокую инфляцию при медленном или нулевом росте реального объема производства. Часто этот термин употребляется для характеристики инфляции при одновременном спаде объема производства.

2.2 Причины инфляции

Есть множество причин инфляции, однако, в каждой стране складываются свои социально-экономические условия ее возникновения. Выделяют внешние и внутренние причины инфляции.
К внешним причинам относятся:
1. Интернационализация хозяйственных связей: наличие инфляции в других странах влияет на динамику внутренних товарных цен через цены импортируемых товаров. Центральный банк страны для создания собственных валютных резервов скупает иностранную валюту у коммерческих банков, выпуская для этих целей дополнительную национальную валюту, что увеличивает количество денег в обращении.
2. Мировые экономические кризисы. Так, мировой структурный кризис 70-х гг. XX столетия вызвал рост цен на природные ресурсы в 7 раз, в том числе на сырую нефть – в 20 раз. В результате цены на готовую продукцию резко подскочили в Японии, США, Западной Европе. Этот фактор имеет большое значение, например для Белоруссии, экономика которой на 90% и более зависит от импорта топливно-энергетических ресурсов. Рост цен на них является одной из главных причин раскручивания инфляционной спирали.
Внутренние причины обусловлены состоянием экономики данной страны. Среди них можно выделить:
Первое. Дефицит госбюджета. Если он покрывается займами Центрального банка страны, количество денег в обращении резко возрастает, но оно не подкреплено выпуском товаров, что ведет к инфляции.
Второе. Расходы на военные цели. Они, во-первых, увеличивают расходную часть бюджета, являясь постоянной причиной бюджетного дефицита, что, как было отмечено, ведет к инфляции. Во-вторых, люди, занятые в военном секторе экономики, не создают потребительский продукт, а выступают на потребительском рынке только в роли покупателей, увеличивая платежеспособный спрос. Следовательно, военные ассигнования являются мощным фактором инфляции, так как вызывают огромный рост денежной массы без соответствующего товарного покрытия.
Третье. Расход на социальные цели не адекватные эффективности национальной экономики. В случаях экономических кризисов, спада производства уровень жизни населения снижается. Правительство стремится поддержать население путем дополнительных ассигнований на социальные цели (индексация зарплаты, выплата различных пособий, в том числе по безработице, различных доплат и т.п.), что ведет к увеличению количества наличных денег в обращении и усиливает инфляцию.
Четвертое. Инфляционные ожидания, являющиеся одним из основных факторов инфляции. Когда начинается инфляция, население планирует свое поведение в ожидании дальнейшего роста цен. Оно начинает приобретать товары сверх своих текущих потребностей. Происходит “бегство от денег”. Спрос начинает стимулировать предложение, что подстегивает рост цен. Кроме того, ожидания предполагаемого уровня инфляции включаются в долгосрочные контракты (как правило, не менее года), заработную плату и другие платежи. Высокая зарплата, обусловленная предшествующими ожиданиями, стимулирует дальнейший рост цен. Она блокирует усилия правительства по снижению темпов инфляции.
Пятое. Чрезмерные инвестиции в отдельные отрасли экономики, например, в сельское хозяйство, не дающие должного экономического эффекта.
Шестое. Структурные нарушения в экономике – диспропорции между накоплением и потреблением, спросом и предложением, доходами и расходами государства и др. факторы.

2.3 Виды инфляции

В мировой экономической теории и практике известны два вида инфляции спроса и инфляция предложения.
Инфляция спроса возникает в результате увеличения совокупного спроса в условиях полной загрузки производственных мощностей, а значит, и невозможности отреагировать увеличением выпуска продукции (рис. 29). Причинами увеличения спроса могут быть; увеличение государственных заказов и рост заработной платы, а также рост покупательной способности населения. В обращении появляется масса денег, не обеспеченная товарами.
Инфляция предложения (издержек) возникает вследствие роста цен из-за увеличения издержек производства. Причинами роста издержек могут быть – увеличение цен на сырье, действия профсоюзов по повышению заработной платы, монополистическое или олигополистическое ценообразование на ресурсы и др.

2.4 Типы инфляции

Инфляцию различают в зависимости от темпов, характера протекания, ожиданий и масштаба охвата.

По темпам инфляции можно выделить:
- умеренную инфляцию (рост цен составляет менее 10% в год);
-галопирующую инфляцию (рост цен составляет от 10 до 200% в год);
- гиперинфляцию (рост цен составляет более 50 % в месяц).
Наиболее губительна для экономики гиперинфляция, которая выражается в астрономическом росте количества денег в обращении. Роль денег в экономике сильно уменьшается, а промышленные предприятия переходят на другие формы расчетов (например, бартер, взаиморасчеты).
По признаку ожидаемости можно выделить ожидаемую инфляцию, которая ожидается и прогнозируется правительством и населением, и неожиданную инфляцию, которая характеризуется внезапным скачком цен. Последняя оказывает неоднозначное влияние на поведение населения в зависимости от состояния инфляционных ожиданий. Если в стране отсутствуют инфляционные ожидания, то население, рассчитывая на краткосрочность роста цен, меньше приобретает и больше сберегает денег. Спрос уменьшается и оказывает давление на производителей, побуждая их снижать цены (проявляется действие закона Пигу). Макроэкономическое равновесие восстанавливается. Если же в стране инфляционные ожидания велики, внезапный рост цен побуждает население закупать товары впрок. Спрос растет, что ведет к дальнейшему росту цен и увеличению инфляции.
По масштабу охвата можно выделить локальную инфляцию, имеющую место в отдельных странах, и мировую, охватывающую группу стран или целые регионы.
По характеру протекания различают открытую инфляцию, отличающуюся продолжительным ростом цен, и подавленную, возникающую при твердых “замороженных” розничных ценах на товары и услуги при одновременном росте денежных доходов населения. В этом случае товары исчезают с прилавков и переходят в разряд дефицитных, а цены растут на “черном рынке”.
Открытая инфляция присуща странам с рыночной экономикой, где свободное взаимодействие спроса и предложения способствует открытому, ничем не стесненному росту цен в результате падения покупательной способности денежной единицы.
Хотя открытая инфляция и искажает рыночные процессы, тем не менее она сохраняет за ценами роль сигналов, показывающих производителям и покупателям сферы выгодного приложения капиталов. Тем самым открытая инфляция сама выступает своего рода антиинфляционным средством.
Подавленная инфляция присуща экономике с административным контролем над ценами и доходами. Она потому-то и называется “подавленной” что жесткий контроль над ценами и доходами не позволяет открыто проявляться инфляции в единственно доступной ей форме: в росте денежных цен. В такой ситуации инфляция принимает “подпольный” характер, внешне цены стабильны, но поскольку масса денег фактически возросла, избыток денег трансформируется в товарный дефицит, который не может быть компенсирован ростом производства. При подавленной инфляции только часть денежных знаков является деньгами, тогда как другая, неотоваренная часть, немедленно превращается в лжеденьги, при этом никто не знает, чем же он располагает – деньгами или лжеденьгами? Такая загадочность по-разному влияет на поведение покупателей и продавцов.
Покупатели стараются “поймать” дефицитный товар, превратив денежные знаки в подлинные деньги. Но именно дефицитность товара означает, что покупка становится случаем, удачей, лотереей. Возникают очереди – постоянные, унылые и озлобленные. Продавцы же начинают спекулировать дефицитным товаром. Появляется “черный рынок” – нелегальная форма инфляции в условиях ее подавления.
“Черный рынок”, в какой то мере, показывает подлинные цены товаров. При этом получается, что покупателей грабят дважды: административно-неподвижные цены лицемерно свидетельствуют свою “стабильность” (и значит, отсутствие причин для повышения зарплаты!), но людям, получающим доходы по уровню официальных ценников пустых магазинов, на самом деле приходится покупать товары по ценам “черного рынка”. Более того, иллюзия неизменности цен создает видимость экономического благополучия, вводя в заблуждение и покупателей, и продавцов, и правительство (до сих пор часть нашего общества вздыхает по тем “низким” и “стабильным” ценам, которые не отражали никакой экономической реальности).
Подавленная инфляция неизлечима, ее можно только “обезболить” загнав еще глубже, не позволяя проявиться, и тем “взрывая” уже всю экономику. Да и добиться этого можно лишь административными методами. В результате экономику ожидает подлинная катастрофа. Дело в том, что подавление инфляции на протяжении десятилетий настолько искажает цены, что реальные экономические процессы просто не означаются, общество живет самообманом и приучается к нему.
Измеряется инфляция с помощью индекса цен. На практике обычно используется индекс валового национального продукта, индекс оптовых цен и индекс потребительских цен.
- Индекс валового национального продукта, называемый дефлятором ВНП (ВВП), выражает отношение объема ВВП в фактических ценах к объему того же ВВП в так называемых базовых ценах, чаще всего в ценах предыдущего года.
- Индексы оптовых цен – это относительные показатели, которые характеризуют соотношение цен во времени (обычно цены базисного года принимаются за 100, а цены последующих лет пересчитываются по отношению к базисному году). Например, средняя цена бензина в базисном 1995 г. была 54 тыс. р. за тонну, а в 1996 г. составила уже 162 тыс. р., то индекс цен на бензин будет равен 300% (162 тыс.: 54 тыс.) x 100%. То есть, средняя цена в отчетном году по отношению к базисному выросла в 3 раза.
При расчете инфляции по индексу потребительских цен (ИПЦ) исходной точкой является “потребительская корзина” – набор товаров и услуг, покупаемых среднестатистическим городским жителем в течение того или иного промежутка времени (года, квартала, месяца). Стоимость корзины за прошлый год, квартал, месяц берется за базу, отправную точку и сопоставляется со стоимостью корзины, исчисленной в ценах данного месяца, квартала или года. ИЦП рассчитывается по индексу Ласпейреса.

2.4 Определяющие факторы инфляции

На данном этапе среди ученых существует полное согласие об определяющих инфляционного процесса, однако явного соглашения о результатах воздействия на инфляционный процесс не существует. Для того чтобы понять определяющие факторы инфляции и источники разногласия различных научных школ стоит рассмотреть следующее уравнение:
P = MV/Y, (2.1)
где Р = уровень цены, М = денежная масса в экономике, V = скорость оборачиваемости денег в экономике, Y = реальный объем производства в экономике. Скорость оборачиваемости денежной массы измеряет тем, как часто деньги обращаются в экономике и объем сделок который при этом создается. Так если 1 ЕЕК создала 3 ЕЕК в объеме сделок, ее оборачиваемость равна 3. Стоит также заметить, что если величина денежной массы определяется конкретным показателем, то оборачиваемость должна вычисляться для отражения конкретной ситуации. Перепишем предыдущее уравнение (2.1) в условиях изменения параметров, где d представляет изменение.
dP = (dM) (dV) / (dY)
Левая сторона уравнения является уровнем инфляции, а правая сторона показывает три определителя уровня инфляции.

A) Изменение в объеме денежной массы
Если объем повышается при остальных параметрах константах, то уровень инфляции повысится. Это является основой для аргументов придерживающихся монетаристской теории, которые верят, что не существует связи между реальным объемом производства и денежной массой, а также что показатель оборачиваемости стабилен в течение длительного времени и “свободная” монетаристская политика (увеличение денежной массы) является причиной высокой инфляции. Хотя некоторые признают, что монетарная политика может иметь краткосрочный эффект на реальный объем производства, большинство утверждает, что долгосрочный эффект отсутствует. Существует также мнение, что хотя оборачиваемость может изменятся по истечению времени, но эти изменения проявляются после продолжительного периода времени и вряд ли имеют существенный эффект на инфляцию.
b) Изменение в уровне оборачиваемости денежной массы
Если оборачиваемость увеличивается при остальных параметрах константах, то уровень инфляции повысится. Экономисты долгое время спорили почему обращение денежной массы изменяется по истечению времени. Одним из определяющих является технологический прогресс. Он изменяет способы накопления денег, и пути как люди тратят деньги, таким образом, оказывая влияние на оборачиваемость денег. В условиях гиперинфляции люди не желают держать наличные суммы денег и предпочитают приобретать реальные товары. Нежелание накапливать деньги приводит к ускорению оборачиваемости денег. Таким образом если центральный банк быстро увеличивает денежную массу то это неизменно приводит к повышению уровня инфляции.
c) Изменение в реальном объеме производства
Если объем увеличивается при остальных параметрах константах, то уровень инфляции понизится. Часто это является основным аргументом приверженцев школы Кейнса для смягчения монетаристской политики во время экономических спадов. Они утверждают, что увеличение денежной массы приводит к сопутствующему увеличению реального объема производства и инфляционные процессы при этом незаметны или не существуют.

2.5 Последствия инфляции и антиинфляционная политика

Экономические и социальные последствия инфляции сложны и разнообразны. Небольшие ее темпы содействуют росту цен и нормы прибыли, являясь, таким образом, фактором временного оживления экономической конъюнктуры. По мере углубления инфляция превращается в препятствие для воспроизводства, обостряет экономическую и социальную напряженность в обществе.
Галопирующая инфляция дезорганизует хозяйство, наносит ущерб как крупным корпорациям, так и мелкому бизнесу, прежде всего из-за неопределенности рыночной конъюнктуры. Инфляция затрудняет проведение эффективной макроэкономической политики. К тому же, неравномерный рост цен усиливает диспропорции между отраслями экономики, искажает структуру потребительского спроса. Цена перестает выполнять свою главную функцию в рыночном хозяйстве – быть объективным информационным сигналом.
Инфляция активизирует бегство от денег к товарам, превращая этот процесс в лавинообразный, обостряет товарный голод, подрывает стимулы к денежному накоплению, нарушает функционирование денежно-кредитной системы, возрождает бартер.
Высокие темпы роста общего уровня цен отрицательным образом воздействуют и на фискальную систему – обесцениваются поступления от налогообложения. Так, если налоги начисляются, например, в III квартале, а выплачиваются в IV квартале года, то при гиперинфляции падает реальное значение налоговых поступлений в бюджет.
В условиях инфляции обесцениваются сбережения населения, потери несут банки и учреждения, предоставляющие кредиты. Интернационализация производства облегчает переброс инфляции из страны в страну, осложняя международные валютные и кредитные отношения.
Инфляция имеет и социальные последствия, она ведет к перераспределению национального дохода, является как бы сверхналогом на население, что обусловливает отставание темпов роста номинальной, а также реальной заработной платы от резко возрастающих цен на товары и услуги. Ущерб от инфляции терпят все категории наемных работников, лица свободных профессий, пенсионеры, рантье, доходы которых либо уменьшаются, либо возрастают темпами меньшими, чем темпы инфляции.
Негативные социальные и экономические последствия инфляции вынуждают правительства разных стран учитывать это явление в своей экономической политике. При этом в первую очередь экономисты пытаются найти ответ на такой важный вопрос – ликвидировать инфляцию путем радикальных мер или адаптировался к ней. Эта проблема в разных странах решается с учетом их специфики. В США и англии, например, на государственном уровне ставится задача борьбы с инфляцией. В других странах разрабатывают комплекс адаптационных мероприятий (индексация и т.п.).
Антиинфляционная политика.
В антиинфляционной политике государств можно выделить два подхода. Первый подход (его разрабатывают представители современного кейнсианства) предусматривает активную бюджетную политику – маневрирование государственными расходами и налогами в целях воздействия на платёже – способный спрос.

При инфляционном, избыточном спросе государство ограничивает свои расходы и повышает налоги. В результате сокращается спрос, снижаются темпы инфляции. Однако одновременно ограничивается и рост производства, что может привести к застою и даже кризисным явлениям в экономике, к увеличению безработицы. Такова для общества цена сдерживания инфляции.
Бюджетная политика проводится и для расширения спроса в условиях спада. Если спрос недостаточен, осуществляются программы государственных капиталовложений и других расходов, понижаются налоги. Низкие налоги устанавливаются, прежде всего, для людей со средними и невысокими доходами, которые обычно быстро используют (тратят) свои доходы. Считается, что таким образом расширяется спрос на потребительские товары и услуги. Однако стимулирование спроса бюджетными средствами может и усиливать инфляцию. К тому же большие бюджетные дефициты ограничивают правительственные возможности маневрирования налогами и расходами.
Второй подход рекомендуется экономистами неоклассического направления, выдвигающими на первый план денежно-кредитное регулирование, косвенно и гибко воздействующее на экономическую ситуацию. Этот вид регулирования проводится Центральным банком (формально неподконтрольным правительству), который изменяет количество денег в обращении и ставки ссудного процента, воздействуя таким образом на экономику страны. Экономисты неоклассического направления считают, что государство должно проводить дефляционные мероприятия для ограничения платежеспособного спроса, поскольку стимулирование экономического роста и искусственное поддержание занятости путем снижения естественного уровня безработицы ведет к потере контроля над инфляцией.
Со
и т.д.................

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i)

– за один период начисления;

FV = (PV + I) (1 + i) = PV (1 + i) (1 + i) = PV (1 + i)2

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV (1 + i)n = PV kн,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i. 5>>>

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример 8. Сумма в размере 2"000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Наращенная сумма

FV = PV (1 + i)n = 2"000 (1 + 0"1)2 = 2"420 долларов

FV = PV kн = 2"000 1,21 = 2"420 долларов,

где kн = 1,21 (Приложение 2).

Сумма начисленных процентов

I = FV - PV = 2"420 - 2"000 = 420 долларов. 6>>>

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2"420 долларов, из которой 2"000 долларов составляет долг, а 420 долларов – "цена долга".

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

FV = PV (1 + i)n,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Общий метод:

FV = PV (1 + i)n = 250 (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов.

Смешанный метод:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi) =

250 (1 + 0,095)2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 тыс. долларов.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов, 7>>>

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки.

Сравните полученный результат с результатом примера 1. Не трудно заметить, что сложная ставка дает большую сумму процентов.

При расчете по смешанному методу результат всегда оказывается больше.

Работа добавлена на сайт сайт: 2015-07-10

Заказать написание уникльной работы

;font-family:"Times New Roman"">ОГЛАВЛЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">Введение………………………………………………………………………1

1. ">Проценты……………………………………………………………………...2
2. ">Применение простых и сложных процентов ;color:#000000">……………………………………………………………………6
3. ;color:#000000">Применение простых процентов…………………………………………...7
4. ;color:#000000">Применение сложных процентов…………………………………….…….9
5. ">Сравнение методов простых и сложных процентов ;color:#000000">…………………………………………………………………..14
6. ">Комбинированные схемы начисления процентов ;color:#000000">………………………………………………………………..…16
7. ">Номинальная процентная ставка……………………………………………...........................................18
8. ;color:#000000">Понятие номинальной процентной ставки…………………………….…19
9. ;color:#000000">Эффективная процентная ставка……………………………………….…20
10. ;color:#000000">Непрерывное начисление сложных процентов……………………..……21
11. ">ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ……………………………………………...22

">Библиографический список………………………………………....25

">ЗАКЛЮЧЕНИЕ……..…………………………………………………….........26

">ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………….....27

ВВЕДЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В любой развитой рыночной экономике процентная ставка в национальной валюте является одним из самых важных макроэкономических показателей, за которым пристально следят не только профессиональные финансисты, инвесторы и аналитики, но также предприниматели и простые граждане. Причина такого внимания ясна: процентная ставка - это самая главная цена в национальной экономике: она отражает цену денег во времени. Кроме того, двоюродная сестра процентной ставки - это уровень инфляции, измеряемый также в процентных пунктах и признаваемый в соответствии с монетаристской парадигмой одним из главных ориентиров и результатов состояния национальной экономики (чем меньше инфляция, тем лучше для экономики, и наоборот). Родственная связь здесь проста: уровень номинальной процентной ставки должен быть выше уровня инфляции, при этом оба показателя измеряются в процентах годовых. В современной экономической теории общий термин "процентная ставка" используется в единственном числе. Здесь она рассматривается в качестве инструмента, с помощью которого государство в лице монетарных властей воздействует на экономический цикл страны, сигнализируя об изменении кредитно-денежной политики и изменяя объем денежной массы в обращении.

;font-family:"Times New Roman"">Многообразие конкретных процентных ставок в национальной валюте - тема, которая является весьма полезным практическим знанием, накопление которого в жизни любого человека происходит эмпирическим путем. Благодаря средствам массовой информации, либо в своей профессиональной деятельности, либо при управлении личными сбережениями и инвестициями, мы все слышали или регулярно сталкиваемся с различными процентными ставками по разнообразным продуктам.

;font-family:"Times New Roman"">1. ПРОЦЕНТЫ

;font-family:"Times New Roman"">Процентами называют сумму, которую уплачивают за пользование денежными средствами. Это абсолютная величина дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Отношение процентных денег, полученных за единицу времени, к величине капитала называется процентной ставкой, или таксой. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

;font-family:"Times New Roman"">Обычные (декурсивные, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">postnumerando ;font-family:"Times New Roman"">) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции.

;font-family:"Times New Roman"">Под периодом начисления процентов следует понимать отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов или срок финансовой операции, если проценты начисляются один раз (рис. 1). Как видно из названия, эти проценты (обычные) применяются чаще, в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании.

;font-family:"Times New Roman"">Схема начисления процентов

;font-family:"Times New Roman"">Если же доход, определяемый процентом, выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называется авансовой, или учетом, а применяемые проценты – авансовыми (антисипативными, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">prenumerando ;font-family:"Times New Roman"">), которые начисляется в начале периода относительно конечной суммы денег.

;font-family:"Times New Roman"">Доход на процент выплачивается в начале периода, в момент предоставления долга. Так рассчитывают проценты некоторых видах кредитования, например при продаже товаров в кредит, в международных расчетах, операциях с дисконтными ценными бумагами. При этом базой для расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга), а исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом.

;font-family:"Times New Roman"">Существуют следующие виды процентных ставок:

;font-family:"Times New Roman"">Декурсивная ставка, ;font-family:"Times New Roman"">норма доходности ;font-family:"Times New Roman""> которой рассчитывается по начальной сумме кредита. Доход на процент выплачивается вместе с суммой кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Антисипативная ставка, норма доходности которой рассчитывается по конечной сумме долга. Доход на процент выплачивается в момент предоставления кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Действительная ставка, норма доходности которой соответствует получению дохода на процент один раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная ставка, доход на процент которой увеличивается кратное число раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии.

;font-family:"Times New Roman"">Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, т.е. в зависимости от того, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина.

;font-family:"Times New Roman"">Проценты делятся на:

;font-family:"Times New Roman"">- простые, которые весь срок обязательства начисляются на первоначальную сумму;

;font-family:"Times New Roman"">- сложные, база для начисления которых постоянно меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Наращение может осуществляться по схеме простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения простых процентов (simpleinterest). Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r n).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения сложных процентов (compoundinterest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">n ;font-family:"Times New Roman"">.

;font-family:"Times New Roman"">При одном и том же значении процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman"">1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

;font-family:"Times New Roman"">2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно. Области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1. операции с применением простых процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2. операции с применением сложных процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3. операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">2 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

1. ;font-family:"Times New Roman"">Во-первых, и ещё несколько десятилетий назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.
2. ;font-family:"Times New Roman"">Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%). Если словосочетание «формула Тэйлора» вам о чём-то говорит, то вы поймёте, почему это так.
3. ;font-family:"Times New Roman"">В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых процентов для промежутка времени меньше года, всегда ;font-family:"Times New Roman"">больше ;font-family:"Times New Roman"">, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

;font-family:"Times New Roman"">2.1 Применение простых процентов

Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции(со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже — долгосрочные операции.

;font-family:"Times New Roman"">При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + t r / Т),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f=t/T;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т — расчетное количество дней в году.

;font-family:"Times New Roman"">Придолгосрочныхоперациях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r n),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где n — срок вложения денежных средств (в годах). ,

;font-family:"Times New Roman"">2.2 Применение сложных процентов

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) полугодовым (m = 2);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) поквартальным (m = 4);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3) ежемесячным (m = 12);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">4) ежедневным (m = 365 или 366);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">5) непрерывным (m -» ?).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где PV — исходная сумма;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">г — годовая процентная ставка;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — количество лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">m — количество внутригодовых начислений;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV — наращенная сумма.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = Р e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">rn ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = P e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где: e = 2, 718281 — трансцендентное число (число Эйлера);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> — множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">? — специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — количество лет.

;font-family:"Times New Roman"">При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">> FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллюстрирует рисунок.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub">е ;font-family:"Times New Roman"">).

;font-family:"Times New Roman"">Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = FV / PV.

;font-family:"Times New Roman"">Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = (1 + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US"> = (l + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">- 1,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> — эффективная процентная ставка; r — номинальная процентная ставка; m — количество внутригодовых выплат.

;font-family:"Times New Roman"">Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman"">Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) начисление процентов по смешанной схеме.

;font-family:"Times New Roman"">В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n+f ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f — дробная часть срока вложения денежных средств.

;font-family:"Times New Roman"">Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + t r / Т) ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f;display:none"> ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">
;font-family:"Times New Roman"">3 СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">Остановимся подробнее на второй и третьей причинах (так как первая очевидна). Если совместить приведённые в предыдущем параграфе графики роста задолженности, то получится следующая картина:

;color:#000000">
">Сравнение графиков роста задолженности по методам простых и сложных процентов.

">Таким образом, если используется одна и та же процентная ставка, то:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени меньше года задолженность, найденная по методу простых процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу сложных процентов;
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени больше года, наоборот, задолженность, найденная по методу сложных процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу простых процентов;
3. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">ну и, разумеется, для промежутка времени, равного одному году, результаты совпадают.

">При этом, если процентная ставка невелика, а промежуток времени — меньше года, то S ;vertical-align:sub">сл ">(t) и S ;vertical-align:sub">пр ">(t) достаточно близки друг к другу. Однако всегда надо помнить, что если эти условия не выполняются, то расхождения в результатах могут быть значительными!

">Пример
В начале 90-х годов, в период сильной инфляции, российские банки предлагали очень большие — исчисляемые сотнями процентов — процентные ставки по рублёвым вкладам и кредитам.

">В качестве примера посмотрим, к каким расхождениям может привести использование простых процентов для полугодового вклада, когда процентная ставка составляет 300% годовых. Если размер вклада составляет S рублей, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Если бы банк использовал сложные проценты, то итоговая сумма составила бы

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Разница в результатах составляет ½S , или 25% относительно сложного итога.

;font-family:"Times New Roman"">4 КОМБИНИРОВАННЫЕ СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

">На практике для продолжительных, но не целых промежутков времени особо щепетильные кредиторы иногда применяют комбинированную схему начисления процентов. При этом для целого числа лет используется метод сложных процентов, а для нецелого «остатка» — метод простых процентов. Например, если ссуда размером 1 млн рублей выдана на 3 года и 73 дня (73 дня — это 0,2 невисокосного года) под 10% годовых, то итоговая задолженность может быть найдена следующим способом:

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(3,2) = (1+0,1)^3 \cdot (1+0,1 \cdot 0,2) \cdot 1\ 000\ 000 = 1\ 357\ 620\) ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

">Комбинирование простых и сложных процентов может также естественным образом возникать при многократном повторении одной и той же краткосрочной операции. К примеру, банки предлагают своим клиентам краткосрочные депозиты (вклады) на сроки от месяца до года. В течение периода действия депозитного договора увеличение суммы на счету вкладчика происходит по простой схеме. По окончании срока вклада происходит капитализация (присоединение процентных денег к исходной сумме). Если клиент не забирает деньги, то договор по вкладу пролонгируется на новый срок и базой для начисления процентов становится уже увеличенная сумма. Таким образом, с точки зрения клиента банка сумма вклада, оставленного на несколько сроков, будет расти по схеме сложных процентов:

">где t — продолжительность того самого «базового» вклада, а n — число периодов.

">Пример
Некий банк предлагает своим клиентам срочные вклады сроком на полгода под простую процентную ставку 10% годовых. Если клиент этого банка положил на депозит 200 000 рублей, а затем дважды продлевал договор по вкладу, то через полтора года он снял со своего счёта

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(1,5) = (1+0,1 \cdot \frac{1}{2})^3 \cdot 200\ 000 = 231\ 525\) ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">5 НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

">С этого параграфа мы начинаем рассмотрение метода сложных процентов, не столь часто применяемого в кредитовании, как метод простых процентов, но широко распространённого в других областях финансов. В частности, метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).

">Напомню, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под сложную процентную ставку i = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

;color:#000000">S(5/12) = (1 + i) ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000">S ;vertical-align:sub;color:#000000">0 ;color:#000000"> = 1,06 ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000"> · 100 000 ≈ 102 458 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.1 Понятие номинальной процентной ставки

">Понятно, что без специальной техники производить такие вычисления не очень удобно, а до недавнего времени это было возможно только с помощью специальных таблиц сза табуированными множителями наращения. Чтобы уйти от необходимости извлекать громоздкие корни при расчётах с использованием сложных процентов, для задания сложных процентных ставок на практике применяются так называемые номинальные процентные ставки. Их суть заключается в следующем.

">Если вы положили деньги в банк, то проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью — раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Так вот, допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j — номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в(1 + \dfrac{j}{m}\) раз.

">Понятно, что по сути речь здесь идёт о применении комбинированной схемы простых и сложных процентов.

">Пример
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные проценты), то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

;color:#000000">200 000 · (1 + 0,08/4) ;vertical-align:super;color:#000000">2 ;color:#000000"> = 208 080 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.2 Эффективная процентная ставка

">Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(\left(1+ \dfrac{j}{m} \right)^m\)

">раз.

">Так как, с другой стороны, всегда должно выполняться соотношение для сложной процентной ставки:

" xml:lang="en-US" lang="en-US">S(1) = (1+ i) S ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">0

">то

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\tag{15.1} i = \left(1+ \frac{j}{m} \right)^m - 1\]

">Найденная таким образом сложная процентная ставка называется «эффективной», так как она, в отличие от номинальной ставки, характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции.

">Пример
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(i = \left(1+ \dfrac{0,18}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0,1956 = 19,56\%\) ;color:#000000">годовых ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

">то есть на полтора процента больше, чем заявлено.

">Вообще говоря, эффективная процентная ставка всегда больше, чем номинальная. В этом нетрудно убедиться, разложив правую часть соотношения (15.1) по формуле бинома Ньютона.

;font-family:"Times New Roman"">5.3 Непрерывное начисление сложных процентов

">Как известно, для стремящегося к бесконечности числа x существует предел

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e,\]

">где e = 2,718281828... — основание натуральных логарифмов. Эта формула называется вторым замечательным пределом. Из неё следует, в частности, что справедливо соотношение

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">lim ">_{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">to "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">infty ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">left ">(1 + \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">frac ">{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">}{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">right ">)^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> = " xml:lang="en-US" lang="en-US">e ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">\]

">Значит, если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно, то эффективную процентную ставку можно приближённо найти следующим образом:

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">tag ">{15.2} " xml:lang="en-US" lang="en-US">i "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">approxe ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j "> - 1\]

">Пример
Снова будем предполагать, что номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Точное значение эффективной процентной ставки, найденное по формуле (15.1), будет равно

">Если же использовать приближённую формулу (15.2), то можно получить следующий результат:

;color:#000000">i ≈ e ;vertical-align:super;color:#000000">0,18 ;color:#000000"> – 1 = 0,197217...

">Как видите, расхождение совсем невелико.

6 Процентные начисления

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы процентов:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула простых процентов,
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Порядок начисления процентов формулам осуществляется с использованием фиксированной или плавающей ставки.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:

1. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">сумму вклада (депозита),
2. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
3. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
4. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">срок размещения вклада (депозита),
5. ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов. При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S — сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">t ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Если начисляемые по вкладу проценты, причисляются к вкладу через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально), то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле сложных процентов. Сложные проценты предусматривают капитализацию процентов (начисление процентов на проценты). Для расчета сложных процентов можно применять две формулы сложных процентов по вкладам, которые выглядят так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">I – годовая процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">K – количество дней в календарном году (365 или 366).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Sp – сумма процентов (доходов).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n — число периодов начисления процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S — сумма вклада (депозита) с процентами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). ;font-family:"Times New Roman"">
БИБЛИОРГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ;font-family:"Times New Roman"">Техника финансово-экономических расчетов: Учеб.пособие. – М.: Финансы и математика, 2000. – 80с.: ил.
2. ;font-family:"Times New Roman"">Джон К. ХаллГлава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, FuturesandOtherDerivatives. — 6-е изд. — М.: ;font-family:"Times New Roman"">«Вильямс» ;font-family:"Times New Roman"">, 2007. — С. 133-165.
3. ;font-family:"Times New Roman"">http://forexaw.com/Cont-Economy/
4. ;font-family:"Times New Roman"">http://www.bibliotekar.ru/
5. ;font-family:"Times New Roman"">http://ru.wikipedia.org/

;font-family:"Times New Roman"">
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В настоящее время в условиях стабилизации экономики ниша услуг банковского кредитования для российского рынка еще не заполнена, т.е. можно выделить кредитование как наиболее перспективное средство получения доходов банками.

;font-family:"Times New Roman"">В условиях стабилизации экономики наметилась тенденция увеличения объема заимствований в промышленности и банкам для привлечения потенциальных заемщиков. Необходимо определить величину процентной ставки кредитования, как наиболее важный фактор, влияющий на выбор заемщиком того или иного банка, а, следовательно, необходимо более детально рассматривать составляющие, формирующие величину процентной ставки, влияющие на стоимость кредитов.

;font-family:"Times New Roman"">Также в условиях стабилизации экономики становится возможным расширение такого перспективного направления, обладающего огромным потенциалом – кредитование потребительского сектора. И здесь процентная ставка также решает определяющую роль в привлечении частных кредитозаемщиков.

;font-family:"Times New Roman"">
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

;font-family:"Times New Roman"">Задача 1

;font-family:"Times New Roman"">Банк предлагает 17 % годовых за размещение денежных средств на открываемых им депозитных счетах. Используя формулу дисконтирования, рассчитайте размер первоначального вклада, чтобы через 4 года иметь на счете 180 тыс. руб.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">n

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">180 000 = P * (1+0,17) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">4

;font-family:"Times New Roman"">180 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> * 1,8738

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 96 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">061руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: для того, чтобы иметь на вкладе через 4 года 180 тыс. руб. необходимо, чтобы размер первоначального вклада составлял 96 061 рубль.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 2

;font-family:"Times New Roman"">Гражданин получил в банке ипотечную ссуду в размере 1,5 млн руб. сроком на 8 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка сложных процентов равна 14% годовых; на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую гражданин должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P×((1+i1)*n1 +(1+i2)*n2 + …+(1+ik)*nk)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 × ((1+0,14) + (1+0,145)*2 + (1+0,152)*5)) = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 *9,19 = 13 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">785 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: гражданин по окончанию срока ссуды должен вернуть в банк 13, 785 млн. рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 3

;font-family:"Times New Roman"">Организация, имея свободные денежные средства в размере 2-х млн руб., намерена инвестировать их на срок 5 лет. Возможны два варианта вложений, определите более выгодный из них:

;font-family:"Times New Roman"">а) средства вносятся на депозитный счет в банке с начислением процентов каждые 6 месяцев по ставке 18% годовых;

;font-family:"Times New Roman"">б) средства передаются другой организации в качестве ссуды с начислением 24% ежегодно.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"">а) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,18/2) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">10 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,37= 4 740 000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">б) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,24) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">5 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,93 = 5 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">860 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: второй вариант более выгодный.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 4

;font-family:"Times New Roman"">Определите необходимую сумму вклада в настоящем, чтобы через два года иметь накопления в размере 150 тыс. руб. Годовая ставка процента 11%, начисление процентов производится 1 раз в квартал по схеме сложного процента.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">m*n

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super"> ;font-family:"Times New Roman"">(1+0,11/4) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">4*2

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* (1+0,0275) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">8 ;font-family:"Times New Roman"">

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">*1,24

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 120 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">968

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: необходимая сумма вклада - 120 968 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 5

;font-family:"Times New Roman"">Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 317 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 18% годовых и начисляются простые проценты с приближенным числом дней?

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S =P × (1+n×i)

;font-family:"Times New Roman"">где ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> - наращенная сумма,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> - сумма долга,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> - срок (доля от года),

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman""> - ставка процента.

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman"">/ (1+ ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman"">× ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman"">)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> = 180/360 = 0,5.

;font-family:"Times New Roman"">Р = 317 000 / (1 + 0,5×0,18) = 317 000 /1, 09 = 290 826 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: первоначальная величина кредита составила 290 826 рублей.

1 слайд

2 слайд

ВВЕДЕНИЕ 1. Актуальность 2. История происхождения. 3. Происхождения обозначения. 4. Правила набора. 5. Сравнение величин в процентах 6. Виды процентов. 7. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах. 8. Заключение.

3 слайд

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Актуальность.

4 слайд

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. История происхождения.

5 слайд

Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. Происхождения обозначения.

6 слайд

В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный. Правила набора.

7 слайд

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Сравнение величин в процентах

8 слайд

Различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. Виды процентов

9 слайд

Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах.